Доказательство параллелограмма

Теорема

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство

Пусть ABCD — данный четырехугольник и O — точка пересечения его диагоналей.

Доказательство параллелограмма

Треугольники \triangle AOD и \triangle COB равны. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OD=OB и OA=OC по условию теоремы.

Значит, углы \angle OBC и \angle ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказывается параллельность прямых AB и CD с помощью равенства треугольников \triangle AOB и \triangle COD.

Так как противоположные стороны четырехугольника параллельны, то по определению четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Категории

НаукаМатематикаГеометрияДоказательство

Комментарии